Hogyan lehet bebizonyitani a kovetkezot:

1/1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/(n*n)+...... =pi*pi/6

Mert ez igy van. De miert?

(webes bekuldes, a bekuldo gepe: ppp114.rdsor.ro)

Szia taxi,

>>Azt szeretnem kerdezni toled taxi, hogy vajon miket tanulmanyoznak a
>>matematikusok szakteruletuktol fuggetlenul, hogy tapasztalatokat
>>gyujtsenek? Meg tudnad par szoban fogalmazni?
 
> Tulsagosan szerteagazo a lehetseges teruletek kore ahhoz, hogy akarcsak

Pont ezert irtam, hogy "szakteruletuktol fuggetlenul".

A kerdesre viszont nem valaszoltal. Gondolom azert, mert te nem gyujtesz
matematikai tapasztalatokat, igy otleted sincs, hogy mit kellene erteni ez
alatt. Tapasztalatok hianyaban meg csak az osszevissza dumalas marad neked.


z2

Szia taxi,

Nem valaszoltal a kerdeseimre.

> Ezt nevezik indirekt bizonyitasnak. Feltesszuk, hogy a
> definiciod igaz, es ebbol ellentmondasra jutunk. Ezert a definicio hibas.

Kevered a definiciot az allitassal.
Mit jelent az szerinted hogy "hibas definicio" ?

> allitas valoban az en ... allitasom, es valoban ellenmondasban van
> a definicoval.

Es ez, mit bizonyit ?

> Az altalad felhozott b := {0,1,0,1,...} c := {1,0,1,0,...}
> sorozatokkal is ugyan ez a helyzet. Ezeknel talan megjobban, mar ranezesre
> latszik, hogy egyik sem lehet nagyobb, vagy kisebb a masikanal.

Ezt bizonyitani is tudod ?

> a Te sorozataidrol ez nem mondhato el.

Ezt bizonyitani is tudod ?

> ugy gondolom, csak ezzel ekvivalens definiciok rughatnak labdaba.

Ezt bizonyitani is tudod ?

Bizonyitas nelkul nem fogsz rajonni, hogy mi a hiba a gondolkodasodban.


z2

Sziasztok !

Valamikor azt hittem, hogy az archimedesi spiral azonos azzal
a viz-emelo szerkentyuvel, melyet Archimedes talalt fel.
Aztan megtudtam, hogy az archimedesi spiral nem technikai, hanem 
matematikai eset, sikbeli gorbe, es a vizemelo gepezethez semmi 
koze.
A vizemelonek egyszer lattam egy abrazolasat, es teljesen vilagos volt 
a zsenialisan egyszeru megoldas. Ferden allo, reszlegesen vizbe merulo 
hosszu hengeres edeny volt ez, melyet ha forgatnak, a viz felfele 
vandorol benne, mert benne csavarorsora emlekezteto jarat van.
( Tulajdonkeppen egy rudra menet-szeruen feltekert cso is
  hasonlokeppen mukodne vizemelokent - gondoltam. )
Kesobb ert a meglepetes. A Muszaki Lexikonban lapozgatva a csigaszivattyu 
cimszonal ez all: * archimedesi csavarszivattyu: ferde tengelyu
vizemelo gep, melynek jarokereke rendszerint lemezbol keszitett
egy-, vagy tobb bekezdesu csavarfelulet. A jarokerek hengeres hazban,
esetleg csak felhenger alaku teknoben forog. ....
Belviz- es szennyvizatemelesre ma is gazdasagosan hasznalhato.
Kb. 70%-os hatasfok erheto el vele. .... *

Ha tehat a palast all, es csak a jarokerek forog, akkor ez megsem az, 
amire en gondoltam regen. Ezek szerint en egy abra helytelen ertelmezesevel
veletlenul feltalaltam egy masik, es sokkal egyszerubb vizemelo 
elvet ? :) Szerintem kis fordulatszamon meg a hatasfoka is jobb
lehet, hiszen nincsenek tomitesi problemak.

Szoljatok, ha megse en talaltam volna fel.
Viszont ebben az esetben valami mast kene feltalalnom mar vegre.
Fontolgatom a lexikon szerinti jarokerekes valtozat elektromos 
analogjanak megalkotasat. Gravitacio helyett elektrosztatikusan 
toltott palast, vagy teknovalyu. Elektrosztatikus toltesemelo.
Vagy mar ezt is feltalaltak ?

Udv: zoli

>valoban az en bozonyitott allitasom, es valoban ellenmondasban van
>a definicoval. Ezt nevezik indirekt bizonyitasnak. Feltesszuk, hogy a
>definiciod igaz, es ebbol ellentmondasra jutunk. Ezert a definicio hibas.
>Az altalad felhozott
>b := {0,1,0,1,...}
>c := {1,0,1,0,...}
>sorozatokkal is ugyan ez a helyzet. Ezeknel talan megjobban, mar ranezesre
>latszik, hogy egyik sem lehet nagyobb, vagy kisebb a masikanal. 

Mar miert ne lehetne? [Egyebkent mekkora is egy sorozat "nagysaga"?]

Nezzuk egy tag eseten az elso n tag "osszege": c>b    [c-b=1]
ket tag eseten: c=b
Harom tag eseten: c>b [c-b=1]
 .......
Lathato hogy a ket sorozat kulonbsege "atlagosan" =0,5
Tehat a c nagyobb 0,5-el.
:-)))))))))))))))))))))))

Udv, Peter.

Takacs Feri:

> A kovetkezo idezojelbe tett
> allitas valoban az en bozonyitott allitasom, es valoban ellenmondasban van
> a definicoval.  Ezt nevezik indirekt bizonyitasnak.
megint hajmereszto elkepzelesed van amatematikarol. az indirekt bizonyitas,
mint bizonyitas csak tetelekre vonatkozik, semaja a kovetkezo:
bizonyitando TETEL: T
bizonyitas menete: B=((nem T)=> ellentmondas)
ezek utan B=>T

namost mint lathato, az indirekt bizonyitasban TETELEKROL van szo, azaz
allitasokrol. ha egy allitas ellentmond egy definicionak, az nem indirekt
bizonyitas, hanem azt jelenti, hogy az allitas nem arrol a fogalomrol szol,
amirol a definicio szol, ez nem bizonyit semmit, csupan fogalomzavart. tehat
fogalomzavarban szenvedsz, es ez most mar nem heveny, hanem koros.

> Az en bizonyitasom egy szimetriaelvre hivatkozik, mely szerint az
> ekvivalens indexhalmazok kozotti minden eroltetett megkulonboztetes hibas,
> es matematikai szempontbol megindokolhatatlan. Ez a szimetriaelv ugyan
> nincs axiomatikusan definialva, mindazonaltal sokkal fontosabb, es
> magasabbrendu igazsag, semhogy ketsegbe lehetne vonni. A fizikaban mar
> rajottek, hogy a szimetriaelvek a vilag legfontosabb torvenyei koze
> tartoznak, es errol egy kepzett fizikus talan irhatna is valamit. A
> matematika kisse le van maradva ettol. Itt a szimetriak csupan
> kovetkezmenyek, de azert itt is leteznek, es itt is ervenyesek.
a matematika es altalaban a tudomany nem europai csatlakozasi program, hogy
trendeket kelljen benne kovetni. ez a szoveged mero retorika, nincs benne
erv. ha egy elv nemszerepel axiomaban, akkor nem hasznalhato bizonyitasban.
hogy miert nem? mert az axiomarendszer feladata, hogy tisztazzuk: ezek a
premisszaink. ha megengedheto,h ogy valaki ezutan meg elohuzzon
kulonelveket, akkor a bizonyitas tisztasaga, az igazsagrol valo megegyezes
remenytelen.
mi van, ha en elohuzom a zsebembol azt az alapveto es nyilvanvalo alapelvet,
hogy Takacs Ferinek nincs igaza?:)

> Amenyiben
> ezt a bizonyitottsagott nem latod, ugy inkabb a Te matematikai
> intuicioiddal van problema, nem az en matematikai kepessegeimmel.
elofordulhat, hogy valakinek az intuicioja nem latja mas ember intuiciojat,
ez az intuicio egyik fo problematikaja, es erre valo a formalizmus, azt nem
lehet nem latni. ha egy kicsit eszhez ternel, es levonnad az
intuicionizmussal kapcsolatban mar itt a vitainkban felmerulo problemakbol a
konkluziot, akkor maris magadba szallnal egy kicsit.

> Ezt inkabb rad hagyom. Nekem tokeletesen megfelel a "veges sok elem
> kivetelevel igaz" definicio, es ugy gondolom, csak ezzel ekvivalens
> definiciok rughatnak labdaba.
ez rendben van, de akkor mia halalnak szolsz hozza megis egy altalanosabb
fogalomhoz, amit z2 hozott a kepbe? egyebkent miert elegszel meg az
egyszerubb fogalmakkal kapcsolatos kerdesekkel, talan nem futja a
intuiciodol?:)

en:
> >nem. ennek kovetkezmenye, hogy az indexhalmazok nem ultrafilterek.
> >meglepoen banalis logikai hiba.
TF:
> az ulrafilternek. Tehat a definicio ellentetes azon kijelenteseddel,
> miszereint ezek a komplemens indexhalmazok nem elemei az ultrafilternek.
lathatoan az "az indexhalmazok nem ultrafilterek" allitasom helyett egy
olyan allitassal vitatkozol, hogy "az indexhalmazok nem elemei az
ultrafiltereknek"
ez most mar fatal error.

> de mivel ezek az
> indexhalmazok valoban nem elemei az ultrafilternek, ezert z2 definicioja
> hibas, es ezert a definicio szerinti ultrafilter nem letezik.
ezt az intuitiv hagymazat is formalizalni kellene, hogy legalabb ertheto
legyen. teljesen zavaros logikaja van ennek a gondolatmenetnek. raadasul
erthetetlen az elozoen idezett  gondolatmenettel valo teljes
ellentmondasossaga. formalizalni kellene, es felsorolni a premisszakat, es
korrekt levezeteseket csinalni. az intuitiv modszered latvanyosan csodol itt
is. mi pedig egyszeruen nem fogadunk el olyat, ami zavaros es erthetetlen.
most mar nemis foglalkozom a kibogozasaval.

math

Takacs Feri:
> Pontosan. De ha megkerdezem, hogy a formalizmusban hova sorolod a
tobbszaz,
> vagy tobbezer eves sejteseket, vagy csak amikor egy bizonyitas soran
> megsejted, milyen logikai lancon keresztul lehet sikeres a bizonyitasod,
> akkor csak egy valasz letezik. A formalizmusban ezek a kerdesek nem
> fogalmazhatoak meg.
Es nemis feladata. Nem birod felfogni a matematika tortenete es amatematika
kozotti kulonbseget. Mivele zt mar elmagyaraztam, ezert megprobalok egy
peldat hozni, hatha bevillan valami: szerinted a mostani magyar alkotmany
alkalmas a feudalis viszonyok leirasara? feladata neki, hogy alkalmas legyen
ra?

> csak meg sem emliti ennek jelentoseget. A formalizmus onmagaban csupan egy
> elettelen, statikus leiro nyelv, amellyel rogziteni lehet a gondolkodasunk
> pillanatnyi eredmenyeit, de a gondolkodast semmivel sem mozditja elorebb,
> mint barmely mas, hagyomanyosabb matematikai nyelv.
1) a formalizmus valoban alkalmas arra, hogy pillanatnyi eredmenyeinket
rogzitsuk, meghozza olyan formaban, ami a tevedesek, felreerteseket
lehetoleg elkeruli. namost a mi vitankban pont egy ilyenre lett volna
szukseg: hogy allitasaidat pontosan es felreerthetetlen modon rogzitsd es
bemutasd nekunk. pontosan ezert kertuk toled a formalizalast. ezek utan,
hogy beismerted, erre alkalmas a formalizmus, nem hatralhatsz el ezelol.
2) a formalizmus alkalmas a bizonyitasok lerasara is, amely nyilvanvaloan
gondolkodasunk olyan eredmenye, ami a fejlodes es nem a statikus reszbe
tartozik
3) a formalizmus nem alkalmas annak leirasara, hogy miert pont az A
axiomarendszerrel foglalkozik egy matematikus, arra peldaul, hogy Bolyai
miert a Bolyai-geometriaval foglalkozott, de ez szemelyes maganugy es nem
tartozik bele a matematikaba (bar hatassal van ra).

> A matematika ezzel
> szemben egy dinamikus, sokezer eves gondolkodasi folyamat, amelyet
> lehetetlen statikusan leirni.
de lehet es szukseges is ahhoz, hogy valoban matematikusok legyunk es ne
torteneszek vagy ideologistak, mint te.

> Nem. A formalizmus, amirol beszelunk, egy olyan hibas megkozelitese a
> matematikanak, amely azt hiszi, hogy a formalis definiciokon, es axiomakon
> keresztul bevezetett allitasokon kivul nincs mas matematika. Ez tipikusan
a
> huszadik szazad termeke, es semmi koze Arkhimedesz bizonyitasaihoz.
es Euklideszhez sincs akkor? tehat az euklideszi axiomak mnem axiomak? most
mar tortenelmi kerdesekben (meleyeket annyira favorizalsz) is elrugaszkodsz
a tenyektol?

> A szemleltetes nem csupan hasznos az oktatasban, hanem elkerulhetetlenul
> szuksegszeru, es alapveto fontossagu. Ettol kapja meg a matematika az
> ertelmet, amely nelkule egy haszontalan, erthetetlen, es folosleges
> tevekenyseg lenne. Eppen ez az ezerszalu szemleletes kotodes teszi a
> matematikat a tudomanyok kiralynojeve. E nelkul legfeljebb egy titokzatos
> idegen vagy ufo lenne, de leginkabb letre sem jott volna.
megint nem birod megkulonboztetni a matematika oktatasat a matematikatol.

> Van nehany elteres, de az nem lenyegi, es inkabb bajnak van, sem mint
> ertelme volna. Peldaul a koznyelv a "vagy" kotoszot szinte kizarolagosan
> kizaro ertelemben hasznalja, mig a matematika megengedoen definialja,
amely
> hasznalatra nincs igazan nyomos erv.
az nem eleg erv, hogy ez a muvelet fordul elo gyakran?
>Elvben nem lenne akadalya a jelentes
> modositasanak, tehat hogy az xor muveleteket hasznaljuk a bizonyitasokban,
elvben nem, csak korulmenyes lenne.

> elott all. A masik elteres, hogy a matematika sokkal szukebb, bar
precizebb
> muvelet keszlettel rendelkezik logikabol, mint a koznyelv, es ezzel
> konnyebben biztosithato az egyertelmuseg, ami a koznyelben sokszor
> hianyzik.
pontosan errol van szo. a matematika lenyege a precizseg es az
egyertelmuseg. ennek pedig az egzakt formalizmus az eszkoze. az "intuitiv
matematikad" megmarad a jozan paraszti esz szintjen, azaz nem matematika.

> De a szukebb keszlethez sajnos hosszadalmasabb, korulmenyesebb
> levezetesek tarsulnak, ami egyaltalaban nem elony, hanem hatrany.
szukseges rossz. ez az ara a precizsegnek, es a perecizseg az elso
prioritas.
egyebkent pedig nemreg olvastam, hogy a matematikai neylveknek letezik egy
minimalis magja, es letezik egy meglehetosen redundans hasznalati nyelv.
elvben minden leirhato volna aminimalis nyelven, de ez korulmenyes volna. de
miutan a redundans nyelvrol bemutatjak, hogy ekvivalens a minimalis
nyelvvel, ezen mar jol megfogalmazhatoak tomor bizonyitasok. vegulis a
komplexebb fogalmak definicioinak is ez a jelentosege. tehat egyaltalan nem
kell olyan korulmenyesnek lenniuk azoknak a levezeteseknek, van mod ra.

> egyetlen egy" jelentesu kvantor bevezetesevel. Ugyancsak jeleztem, hogy a
> "minden", es a 'barmely" szo jelentese csak a koznyelvben azonos,
> matematikai szemponbol nem.
jelezted, de nem mondtad meg a kulonbseget. ugy latszik, ez egy teves
riasztas volt.:) egyebkent pedig kvantorok bevezetese ertelmes modon abba a
folyamatba tartozik, amit az elobb emlitettem, hasznalatos a matematikaban,a
formalizmus kiegeszito resze.

> >Az axiomakat egyszer belevestuk egy kotablaba, tobbet nem nyulunk hozza.
>
> Tudod, en nem vagyok hivo, es Mozes kotablait sem tartom masnak, mint
ember
> kigondolta alkotasnak. Egy hivo ezt talan maskent gondolja, de az
> axiomakrol viszont biztosan tudjuk, hogy emberi alkotasok, igy ez a
> tokeletessegre utalo celzas nalam nem hatasos.
en sem vagyok hivo, de nem azert nem nyulunk hozza, mert tokeletesek, anem
azert,mert ha hibasak, akkor elvetjuk oket, ha pedig masra van szuksegunk,
masik axiomat veszunk elo. igy minden axiomarendszer egyertelmuen kezelheto.
mig ha folyton modositgatod, es a modositott axiomarendszert nem
kulonbozeted meg a regitol, akkor zavaros gondolkodasod lesz. ez azitteni
vitadbol latszik is.

> nelkul viszont megkerulhetetlen az a kerdes, hogy mi teszi az axiomat
jova,
> vagy megjobba, es mik a tartos kobeveses megfelelo szabalyai,
minositesenek
> szempontjai.
a szempontok csak akonzisztencia es redundancia. amelyikennekeleget tesz, az
matematikailag tokeletes axiomarendszer, es megerdemli a kobe vesest. ezen
tul nincsenek matematikai szempontok.

math