Sziasztok, 

A pi tizedesjegyeirol megegyszer:

>>ez a tizedesjegy (mondjuk) 3, hanem annyi, amennyi, csak nem ismerem. (De
>>megismerhetem.)
>Kernek akkor egy igazi peldat veletlen esemenyre.

Ime: 
Legyen adva egy X nemures halmaz. 
Legyen adva X reszhalmazainak egy rendszere jele: A, amely szigma-algebrat 
alkot. 
Legyen adva egy, az A szigma-algebran ertelmezett, mu-vel jelolt szigma-
additiv mertek, olyan, amelyre mu(X)=1. 

Nos, az A algebra elemei a (veletlen) esemenyek, mu mertekuk a valoszinuseg. 
Ezzel foglalkozik a valoszinusegszamitas. 

>A fenti definicio szerint nyilvanvaloan mar kockadobas sem az, mert a dobott
>szam a dobas erossegetol, a felulet terepviszonyaitol, a szelviszonyoktol
stb.
>fugg, amelyeket ugyan jelenleg semmi eselyunk megbizhatoan modellezni,
>de attol meg leteznek, es meghatarozzak az eredmenyt.

A fenti konstrukcionak az _igazi_ kockadobas egy modellje lehet. Mindazokkal 
a megszoritasokkal, amik a modellekre altalaban igazak. A valszinszam. 
tetelei, szigoruan veve, arrol a "kockarol" szolnak, ahol az X halmaz 
hatelemu, es minden egyelemu reszhalmazanak merteke 1/6. 

Az, hogy az osszes fizikai adatot ismero "Laplace-de'mon" elore tudja-e 
josolni a kockadobast, fizikai, vagy meg inkabb filozofiai kerdes. A
klasszikus mechanikaban gondolom igen, kvantumjelensegeknel -- en ugy 
tanultam -- nem, az informaciok feldolgozasa soran keletkezo ho" miatt 
a demon belazasodik, stb, stb.  

>A valoszinusegszamitas eppen arrol szol, hogy olyan jelensegeket,
>esemenyeket tudjon _megbizhatoan_ leirni, elorejelezni, amelyeket nem
>all modunkban, vagy eppen csak nincs kedvunk pontosan meghatarozni.

Durva ellenpelda: Ha te olmozott kockaval jatszol, nekem pedig nincs 
kedvem (sic!) odafigyelni, hanem egyszeruen az 1/6-1/6 valoszinusegekre 
fogadok, az aligha lesz _megbizhato_. 

>Termeszetesen a PI szamjegyei pontosan meghatarozottak.
>Lehet, hogy valakinek van is hozza "szamologepe".
>Viszont csak a valoszinusegszamitas adja meg neki a valaszt, hogy
>tobb ev sikertelenseg utan is erdemes meg folytatnia benne a
>Shakespeare osszes kereseset, mert _biztosan_ benne van.

Megegyszer, utoljara: a pi szamjegyei nem veletlenszeruek. Mas kerdes, 
hogy esetleg egyenletes eloszlasuak. 
Ezert aztan a pi szamjegyeinek sorozata lehet egy _modell_ a veletlen 
szamsorozatra. Bizonyos celokra ez jol alkalmazhato lehet. 

A valoszinusegszamitas nem _adhatja_ azt a valaszt, hogy "biztosan", 
csak azt, hogy "1 valoszinuseggel", ami nem ugyanaz!

Udvozlettel, Nemeth Zoli

>A Polya tetel ertelmeben ha a szamsorozat valoban veletlenszeru, akkor
>1 es 2 dimenzioban a (0) ill. (0,0) -ba valo visszajutas valoszinusege
>1. 3 vagy annal nagyobb dimenzioszamu terben viszont 0.
Ezek szerint a 000111 sorozat valoszinusege 0 ??? (szerintem 1/64)
Szerintem valami mast mondhat ez a tetel, es akkor a tovabbi kerdeseket is
ujra kellene fogalmazni
SBela

Laci:
>Szamomra sem trivialis, vannak csak ferfiagon oroklodo dolgok es
>akkor viszonylag rovid ido alatt mindenki azonos vezeteknevu lenne?
>Igaz, ez a vezeteknev-dolog meg csak par szaz eves, hol van meg a
>140 ezer... de akkor is gyanus.

Pl. Finnorszagban, ahol sok elszigetelt kis falu volt, par szaz ev 
alatt bekovetkezett amit irsz, tehat azonos vezeteknevu emberek 
elnek egy helyen tomegevel. Ez persze "verfertozes" (nem a nev, 
tehat egy kozos osapa miatt (mert hiszen lehet akarhany kozos osuk, 
akit nem ugy hivtak), hanem a belterjesseg miatt), es bizony meg is 
vannak a kovetkezmenyei, a finneknel rengeteg genetikai betegseg 
van, sok olyan is, amik csak naluk fordul elo (emiatt, plusz a jo 
anyakonyvvezetes miatt nevezik a genetikusok kincsesbanyajanak 
Finnorszagot).

Minel nagyobb a vezeteknev elterjedtsege, annal kevesbe van kiteve a
kihalas veszelyenek (tehat hogy pl. csak lanyok szuletnek, vagy a 
fiuk elpatkolnak ido elott), igy a kisebb csoportok kihalogatnak 
(mert ugye a kihalasnak mindig meg van a valoszinusege, es stabil 
allapot, ahova beragadnak), mig a nagy elvemarad, tehat terjedhet. 
Azert kell ilyen bonyolultan megkozeliteni, mert az ingadozas 
hianyaban szerintem egyik vezeteknev se terjedne vagy halna ki. (ha 
minden nevbol mindig ugyanannyi ferfi szuletne, akkor midig 
ugyanannyian vinnek tovabb a nevet, allando populacio eseten, 
novekvonel meg az aranyok nem valtoznanak). Ezt az egeszet ugyanugy 
el lehet mondani a nok mitokondriumara. 

Ha feltesszuk, hogy csak ket szereplo van (pl. ket fajta 
mitokondrium vagy ket vezeteknev), es allando a populacio, akkor az 
egesz ugy foghato fel, mint egy penzfeldobasos jatek, ahol az 
egyiknek x penze van, a masiknak y, x+y allando, es minden dobasnal 
az egyik elnyer a masiktol egy penzt. Minel tobbet dobunk, annal 
valoszinubb, hogy az egyik mar tonkrement, es vegetert a jatek 
(tehat kihalt a nev, vagy az egyik osanyu).  

A tenyleges helyzet raadasul meg gyorsabb lefolyasu, hiszen a 
dobasonkenti valtozas nem csak 1 lehet, hanem tetszolegesen nagy. 
Mindegy, ezt pontosan ki lehet, es ki is szamitottak, majd 
utananezek. 

Udv.: SB

Kocsi Zoltan:
>A Polya tetel ertelmeben ha a szamsorozat valoban veletlenszeru, akkor
>1 es 2 dimenzioban a (0) ill. (0,0) -ba valo visszajutas valoszinusege
>1. 3 vagy annal nagyobb dimenzioszamu terben viszont 0.

A Polya tetel nem azt mondja, hogy "nulla" valoszinuseggel ter 
vissza (gondolj arra, hogy egesz szep valoszinusege van annak, hogy 
mar ket lepesben visszater). A Polya tetel azt mondja, hogy ez a 
valoszinuseg a lepesszam novelesevel nem konvergal 1-hez (1 es 2 
dimenzioban 1-hez konvergal). Tehat mig 1 es 2 dimenzioban 
"biztosak" lehetunk benne, hogy visszater, haromban mar nem lehetunk 
ebben biztosak.

>A tetelbol kovetkezik (hisz a bolyongas emlekezetnelkuli), hogy
>3+ dimenzioban annak a valoszinusege, hogy a bolyongo reszecske
>barmikor is egy olyan pontba megy ahol mar valamikor volt az 0.

Ez a masik hiba. Igaz ugyan, hogy a Kocsi tetelbol kovetkezik :-), 
de megintcsak nem igaz. Be lehet bizonyitani, hogy ez a 
valoszinuseg 1-hez konvergal. (mi a valoszinusege annak, hogy n lepes
alatt van egymas melletti ket lepes, amik egymasnak ellentettjei? Ez
a valsz. n novelesevel 1-hez konvergal! Tehat nem csak hogy nem 
nulla, de 1 a valoszinusege, meghozza akarhany dimenzioban).

Udv.: SB

Egy kis adalek: parakicsapodas nem csak a hangsebesseg atlepesekor johet 
letre repulogepeknel.

Ha lattatok esos idoben leszallo nagy utasszallito repulorol reszletet 
mondjuk a Hiradoban, a szarnyvegi orveny is jol latszik. Sot, a multkor 
repules kozben talan a csurolap kilepoelenek egy reszerol valhatott le, 
de teljesen olyan erzese volt a tapasztalatlan szemlelodonek, hogy 
folyik a kerozin a tankbol...

Ha pedig voltatok regebben a budaorsi repulonapon, tobbszor is 
elofordult, hogy a paras levegoben nagy sebesseg mellett atrepulo es 
durvan felhuzott vadaszgepek szarnyan ugy latszik, mintha fustolne a 
belepoel. Van is rola egy amator fotom, megkapo.

Udv,

Sanyi

Sziasztok,

Mindenkinek koszonom a hozzaszolasat a temahoz.....az osztalytarsamnak
sikerult nagyjabol elmagyaraznom.....hogy mi is az...

Most viszont nekem lenne egy masik, naiv kerdesem ezzel
kapcsolatban...Minden sci-fi-ben arrol van szo hogy a fekete lyuk 2 pontot
osszekot a vilagegyetemben es itt maszkalnak az urhajok...na most az
erdekelne, hogy ennek van valami tudomanyos alapja, de nem az atjarasnak a
ket pont kozott, mert azt, ahogyan olvastam lehetetlen tulelni, hanem hogy
letezik e ilyen 2 pont vagy csak a forgatokonyv-irok fantaziaja tul
kreativ...

E-mail:
     

Tisztelt Tudosok!
Valaki erdeklodott a sokk-rol, mint allapotrol. Nos osszeszedtem nehany
dolgot:
A sokknak ket fajtaja van: a vasoconstrictio-s es a vasodilatatio-s
sokk.
Igazandibol az esetek 90%-at az elso fajtaju adja, a masodik nagyon
ritka.
A vasoconstrictios shock acut, peripherias, progressiv keringesi zavar.
Lezajlasa igen
gyors, szamos circulus vitiosus (koros ko:r) utan fuggetlenne valik
kivalto okatol.
A keringesi zavar kovetkezteben szamos eletfontossagu szerv definitiv
karosodik, innentol
kezdve a sokk irreverzibilis.
Lefolyasa: barmi, ami hirtelenul es nagy mertekben csokkenti a
percterfogatot, sokkot valthat ki.
Egy ideig a szervezet sympathikus izgalmi allapota igyekszik szinten
tartani az allapotot, de
tamogatas hijjan hamar kimerul (compenzalt shock-fazis). Ekkor a
vernyomas merhetetlenul
alacsonyra zuhan (decompenzalt shock-fazis), s a beteg meghal. Ha ebben
a fazisban javitjuk
meg a keringest, a sokk latszolag gyogyul, de nehany nap mulva maj- vagy
veseelegtelenesegben
meghal a beteg.
Shock-kelto tenyezok: vervesztes, plasmavesztes (egesnel),
electrolyt-vesztes (hanyas-hasmenes),
hirtelen kialakulo, foleg kisverkori keringesi akadaly (tudo-embolia),
jelentos merteku, heveny
szovetkarososdas. A heves fajdalomnak is fontos szerepe van a sokk
kialakulasaban, bar onmagaban
nem okozza azt, csak egyeb faktorokkal kombinalodva.
A sokkban tulajdonkeppen a keringo vermennyiseg abszolute vagy relative
csokken. Abszolute
csokkenes: verzes, eges eseten. Relativ csokkenes sokknal mindig
kialakul, mert a keringo vermennyiseg
egy resze a peripherian marad.
Hat ennyi diohejban.
Udv
Geza

 wrote:

> Kedves Pali !   

> A #623 szambeli  Grand Unified Theories cimu lenyugozo
> osszefoglalodra gondolva biztos vagyok benne, hogy a spin
> fogalmanak tisztazasaval kapcsolatos keresemmel
> igazan szakavatotthoz fordulok.
>
> Emiatt kerlek, ha idod engedi, irj nekunk errol - e hetkoznapi
> szemlelet szamara szokatlan tulajdonsagrol, mellyel kapcsolatban
> gyakran talalkozhatunk felreertheto megfogalmazasokkal.
>
> Stephen Hawking egyik konyveben kulon emliti, hogy a
> a spint helytelenul olykor egyszeruen
> reszecskek tengely koruli forgasaval azonositjak.
>
> Megkiserel ugyan joszandekuan gyakorlatias hasonlattal elni
> a laikusok szamara, de rovidsege miatt megkozelitese
> inkabb csak amulatba ejto, mint megnyugtato.
>
> Peldakent idezem, amit a feles spin jellemzeseul ir:
>
> _vannak olyan reszecskek, amelyek nem latszanak ugyanolyannak,
> ha egyszer korbeforgatjuk oket: ehhez ket egesz fordulatot kell
> vegezni! _
>
> Jo lenne errol az igencsak megfoghatatlan dologrol
> a koznapi szemleletbe valamelyest beillesztheto
> kepet kapni, ha ez egyaltalan lehetseges.
>
> Ha remenytelen, akkor az is sokat segitene, ha
> megtudhatnank - milyen tenyek es megfontolasok vezette'k
> a fizikat arra, hogy a spint a reszecskek jellemzesere
> alkalmas tulajdonsagkent felismerje, es leirasukhoz alkalmazza.
>
> Udv: -geonauta-

Udvozlet!

A Hawking idezetre egy magyarazatot szeretnek adni:

Amit Hawking leir az a kovetkezo:
A reszecskeket hullamfuggvennyel irjak le. (Talan kozepiskolas
kvantummechanikaban volt errol szo.) Ez a fent idezett megallapitas arra
vonatkozik, hogy ha egy teljes forgatast vegzunk a feles spinu
reszecsken, akkor ez a hullamfuggveny negativ elojelet kap. A ketszeri
forgatasra kapja vissza a pozitiv elojelet.

Ez elegge egyszerunek hangzik, de mit jelent ez? Korbeforgatunk valamit,
es nem ugyanugy nez ki? A kutya ott van elasva, hogy a hullamfuggveny
nem merheto mennyiseg, viszont az egesz kvantummechanika e korul a
mennyiseg korul tancol. A meresek a reszecske megtalalasi
valoszinusegsurusegre vonatkozhatnak csak - ehhez viszont a
hullamfuggveny negyzetet kell venni, es ez adja meg a reszecske
megtalalasi vszg-et. Ez azt jelenti, hogy a hullamfuggveny elojele
(pozitiv vagy negativ) nem merheto, azaz en a kozonseges vilagban nem
tudom megmondani. Ezert nem is tudom megkulonboztetni azt, hogy a
reszecsket, vagy az egyszer korbeforgatott reszecsket nezem. Hasonloan
elmondhato ez barmilyen mennyisegre is - pl. a reszecske lendulete,
perdulete, ... stb is erzeketlen a reszecske hullamfuggvenyenek
elojelere.

Honnet lehet rajonni arra, hogy ez a hullamfuggveny (amit nem
figyelhetunk meg) igy viselkedik? Ennek matematikai oka van - mivel
megfigyeltek bizonyos kiserletekben, hogy azonosnak tuno elektronok
ketfelekeppen viselkednek - ez az a bizonyos "le" es "fel" nek nevezett
spin. Egeszen pontosan magneses terben ateresztve egy elektronnyalabot,
a nyalab kettevalt.  Ezt a jelenseget a kvantummechanikaba  ugy sikerult
beepiteni, hogy a hullamfuggveny valojaban egy ketkomponensu mennyiseg
(a matematikai reszleteket a kvantummechanika targyalja); es az
elektronokat az kulonbozteti meg, hogy a ket komponens kozul a "fel"
spinunek az elso komponense nem 0, a "le" spinunek a masodik komponense
nem 0 (ez egyebkent tisztan konvencio kerdese).
Ezutan kitalaltak azt, hogy ennek forgatasra kell hogy valtozzon, ezt
csak jelzem hogy miert: a spin adja a reszecske perduletenek egy reszet,
ennek pedig iranya van - es ha a reszecsket elforditjuk a perdulet
iranya is fordul, azaz forgatasra nem marad ugyanaz.
Egy ketkomponensu mennyiseg kevesbe szemleletes (nem lehet igy iranyt
jelolni neki - vigyazat a "fel" es "le" nem a hullamfuggveny "iranyat",
csak a reszecske perduletenek iranyat jeloli, ez pedig nem azonos a
hullamfuggvennyel); de a forgatasra vett megvaltozasat ki lehet szamolni
(ez elegge bonyolult matematika es fizika), es innet kaphato Hawking
furcsa kijelentese, hogy egy fordulat utan nem ugy nez ki a reszecske
mint eredetileg.

A fent emlitett bizonyos kiserlet: azert tudjuk megkulonboztetni a "fel"
es "le" spint,  mert magneses terben kulonbozokeppen viselkednek - igy
egy homogen elelktronnyalabot magnesen etrepitve a ketfele spinu
elektron elkulonul. Ezt hivajak Stern-Gerlach kiserletnek.

Ezen kivul mas molekulafizikai, atomfizikai jelensegek is mutatnak erre,
amik megmagyarazhatatlan lenne spin nelkul.

Tehat osszefoglalolag: Hawking kijelenteset nem lehet latni es
elkepzelni is nehez - de szukseges feltetelezni a kvantummechanika
matematikai kereteiben, ahol nem merheto mennyisegekre vonatkoznak a
szamolasok.


Nemeth Adam

A Nemzetkozi Foldforgas Szolgalat (IERS) tekintettel az UT1-UTC
idokulonbseg fejlodesere (ennek az 1998.12.31-ei -0.29 sec-os ertekere)
ujbol extra masodpercet iktatott be az idoszamitasunkba.
A masodperc leptetest az alabbiak szerint hajtottak vegre:

                   1998-12-31   23:59:58 UTC
                   1998-12-31   23:59:59 UTC
                   1998-12-31   23:59:60 UTC
                   1999-01-01   00:00:00 UTC

Igy az UT1-UTC idokulonbseg +0.71 sec-ra ugrott vissza. A legkozelebbi
leptetesre elorelathatoan 2000. julius 1-jen kerul majd sor.

 Ellenorzest vegeztem DCF orammal, hogy a media ill. a MAV idoszolgalatai
mennyire alkalmazkodnak az uj szituaciohoz. Mar januar 1-en delelott 10 orakor
telefonaltam a Magyar Radionak, hogy mi a helyzet, ugyanis nem vettek
figyelembe a fenti esemenyt, es ennek kovetkezteben 1 sec-ot siettek az
ugynevezett pontosido jelzesukkel. Az informaciot a Kronika szerkesztoje,
akivel beszeltem, megkoszonte, de azt mondta, hogy az elkovetkezendo napokban
nemigen tudnak olyan muszaki szakembert keriteni, aki a szukseges korrekciot el
tudna vegezni a Radio hazi orajan. Ennek kovetkezteben a Magyar Radio negy (!)
napon keresztul az orranal fogva vezette a magyar nepet, ugyanis csak januar
5-e ota sugarozzak a helyes ezevi idot (1996 szilveszteren egy nap kesessel
reagaltak).

 Osszehasonlitottam egy masik nemzeti radio, a Roman Radio pontosido jeleit
is, es meglepetessel tapasztaltam, hogy ok a kello idoben igazodtak.
Igy akarunk csatlakozni Europahoz?

 Kacifantosabb volt a helyzet a MAV allomasok oraival. Tudni kell, hogy az
allomasok orait a "nagy Budapesten" kozpontilag allitjak, azaz az orszag
osszes allomasanak minden orajan a percmutato ugyanabban a pillanatban
ugrik.

 Az 1-jet koveto hetvege es valoszinuleg a vasutassztrajk miatt naluk is
erdektelenseg mutatkozott. Hetfon meglepve tapasztaltam, hogy nemhogy
elvettek volna egy masodpercet, hanem meg hozzaadtak egyet. Azaz a MAV orai
mar nem 1, hanem 2 sec-ot siettek. Ha-ha-ha, micsoda elmeny ez nekem, aktiv
okkultacio-eszlelonek - tunodtem a dolgokon. Az elso hetvege utani csutortokon
viszont mar a MAV is eszhez tert, es azota mar ok is a helyes idot mutatjak.

 Kivancsi vagyok, vajon a legkozelebbi UTC lepteteskor is hasonlokat
tapasztalok-e? Egyebkent amikor nalunk bekoszontott az ujev az MTV1 oraja
pontos volt, viszont az RTL Klub oraja 2 masodpercet kesett.

 Az egeszbol azt az into jelet szeretnem leszurni, hogy akinek nincs DCF
oraja, annak nagyon vigyaznia kell meg a jonak tartott Kossuth Radio ido-
jeleivel is a kritikus datumok idejen.

                                                    Nyari Szabolcs
                                                       Debrecen

                                                   (Kozreadta: Tepi)

>A felvetett temaval kapcsolatban a kovetkezo web oldalon talalsz erdekes
>informaciot:
>http://www.cs.unc.edu/~plaisted/ce/humanity.html
>Tobbek kozott utalnak egy 97-es Science cikkre, ami az emberiseg eletkorat
>1000 es 10000 generacionyira teszi ki az eszlelt mutaciok alapjan. 

Elso olvasasra csak egy dologba kotnek bele :) Azt irjak,
hogy a kojot es a farkas kozott a szoban forgo regioban
7,5% kulonbseg van, illetve kulonbozo kacsfajok koztt kb 17%
A generacioidok kozti kulonbseg miatt ok ugy szamoljak hogy
ez is kb 6000 evre jon ki. Azt jelentene ez hogy a farkas es
a kojot a teremteskor meg egy faj volt es azota valt szet ket
kulon fajja? Mert akkor ez eleg erdekes osszevegyitese a
darwinizmusnak es a kreacionizmusnak :)

Bela

(webes bekuldes, a bekuldo gepe: nagykarpc.sote.hu)

  kerdezte, hogy mi az a gyuru alaku valami a 
hangsebesseget atlepo repulo korul. Nekem 2 tippem van:

1. Kodkepzodes (ezt mar valaki megirta).

2. A hangrobbanasnal jelentosen osszesurusodo levego 
fenytoresmutatoja megvaltozik a kornyezetehez kepest, es ez 
okozhat optikai jelensegeket. A repulos kepet nem lattam (ha nem 
tobb 100kbyte-nal, akkor elkuldhetned), de a repulo puskagolyo 
pillanatfelvetelein is lathatok hullamalakulatok.


                       Aggod Jozsef

> 
> :
> >A felvetett temaval kapcsolatban a kovetkezo web oldalon talalsz
> erdekes
> >informaciot:
> >http://www.cs.unc.edu/~plaisted/ce/humanity.html
> >Tobbek kozott utalnak egy 97-es Science cikkre, ami az emberiseg
> eletkorat
> >1000 es 10000 generacionyira teszi ki az eszlelt mutaciok alapjan.
> 
> A fent emlitett oldalon szepen kikalkulaljak, hogy az emberiseg 6000
> eves.
> Ja, hogy kreacionista homepage-rol van szo. (David Plaisted's Creation
> Page) Mi mast is hozhatnanak ki ;-)
> 
> Udv, Andras
> 
Andras: Nem veletlenul nem emlitettem a 6000 eves szamot. A Science cikk,
amire utaltam teljesen tudomanyos es az ott leirt szamok egyeznek az
eddig leirtakkal, azaz kb. 200 ezer eves (~10 ezer generacio) az emberiseg
felso korhatara. Elnezest, ha elsore nem tettem meg, akkor most
bepotolom es mindenkit ovok, hogy nehogy elhiggyetek mindent, amit azon az
oldalon olvastok. - Eva

Sajnos a kerdeseket nem tudom idezni, epphogy befertem a napi penzumba.

Mi a spin ?

A rovid valasz az, hogy egy reszecsket a kvantummechanikaban a hullam-
fuggvenyevel irunk le, es mondjuk gombi koordinatakban (R,Th,Ph) ennek a
Ph-fuggo tagja exp(-i*m*Ph) alakban irhato, ahol i az imaginarius egyseg,
m pedig az impulzusmomentum z-tengely iranyu komponense. Ez az m a
-s,-s+1,...,s-1,s  ertekek valamelyiket veheti fel, ahol s a reszecske
sajat impulzusmomentuma. Ez az s lehet akarmilyen pozitiv egesz vagy 
felegesz szam, azaz 0,1/2,1,3/2,... . Ami furcsasagkent kijon az egeszbol,
az az, hogy ha a koordinatarendszert egyszer teljesen korbeforgatjuk, azaz
a Ph -> Ph+2*Pi transzformaciot vegezzuk, akkor a hullamfuggveny a minusz
egyszeresere valtozik es meg egy forgatas kell ahhoz, hogy visszakapjuk az
eredeti allapotot, azaz tenyleg ketszer kell korbeforgatni a reszecsket,
hogy "ugyanolyannak latszodjon". Egyszerubb esetben azonban egy forgatas
eseten sem latszik masmilyennek a reszecske, mert a fizikailag merheto
mennyisegek a hullamfuggveny abszoluterteknegyzetetol fuggnek, s ez minusz
egy eseten is plusz egy. Osszetettebb rendszer eseten azonban, ahol sok
hullamfuggveny szorzata szerepel, mar megmutatkozik a kulonbseg. Olyan ez
mint a klasszikus fenyamplitudo es intenzitas kozotti kulonbseg koherens
fenyhullamok eseten.

Tudom, hogy ennyi meg keves a megerteshez. Alaposabban kell beszelnunk a
kvantummechanikai leirasmodrol, ami furcsasagokhoz vezet, a megdobbento,
hogy a kiserletek igazoljak ezeket a furcsasagokat. Pl. szinkepformulakban
a J impulzusmomentum negyzete helyere a J(J+1) erteket kellett helyette-
siteni, hogy a kiserletekkel tokeletesen egyezo eloszlasokat kapjunk.
A J^2 helyett a J(J+1)-et a kvantummechanika operatoralgebraja magyarazta
meg.

A kvantummechanikaban egy reszecsket a hullamfuggvenye ir le. Minden merheto
fizikai mennyisegnek van operatora. Egy operator az egy fuggvenyen ertel-
mezett muvelet, ami tehat egy fuggvenyhez egy masik fuggvenyt rendel, ahogy
pl. egy fuggveny egy szamhoz egy masik szamot rendel, azaz pl. :
    sin :   x -> sin(x)
hogy fizikus letemre szinte szentsegtoro modon ezt a korrekt matematikai
alakot adjam meg. A fizikusok termeszetesen a tankeppen pongyola sin(x)
fuggvenyrol beszelnek, amitol szegeny matematikusok mennek a falnak :-)

Felre a trefaval, vegyunk egy peldat opratorra, pl. a derivalt is ilyen,
ami a fuggvenyhez a derivaltjat rendeli, de a szammal valo szorzas, vagy
egy polinommal valo szorzas is ilyen. Definialjunk ket operatort, mindjart
a kesobbiek szamara logikus jelolessel es nevvel.

Az egyik legyen a "helyoperator":      X :   f(x)  ->  x*f(x)
azaz ez az x linaris polinommal szorozza meg a fuggvenyt.

                                                          h   d f(x)
A masik legyen az "impulzusoperator":  P :   f(x)  ->  i*----*------
                                                         2*pi   dx
azaz ez biznyos szorzofaktorok erejeig a fuggveny derivaltjat rendeli a
fuggvenyhez. i a komplez imaginarius egyseg, h a Planck-allando, a h/2Pi
mennyiseget "h-vonas"-nak is szokas irni, de ezt ASCII-ban nem tudom
idevesni. A "h-vonas" a redukalt Planck allando, altalaban ez szokott
fellepni a kepletekben, pl. a hatarozatlansagi relaciokban is.

Ott tartottunk, hogy a kvantummechanikaban minden merheto mennyisegnek
egy operatora van, a merest ennek az operatornak a hullamfuggvenyre 
alkalmazasa irja le matematikailag. Olyan allapotokra, amik merhetok 
az operator sajatfuggvenyei, azaz pl. X[f(x)]=x*f(x), ez mondjuk a
fenti x operatorra eppen trivialis, de mas esetben nem az.

Nezzuk meg mondjuk egy szabad reszecske hullamfuggvenyet, aminek tehat
allando az impulzusa. Mi lehet ennek a hullamfuggvenye ? Ne is ezt a 
hullamfuggvenyt keressuk, hanem amikor sok reszecske megy egy iranyba,
a terben egyenletesen elosztva. Ez pint az a szituacio, amikor egy nagy
to bekesen hullamzik, s ezt az
           f(x)=exp(-i/(h-vonas)p*x)
hullamfuggvennyel irhatjuk le. A p*x szorzatot vehetjuk egydimenzios
szorzatnak is egy egydimenzios vilagban, de ket vektor szorzatanak
is (azaz px*x+py*y+pz*z), de negydimenzios szorzatnak is a Minkowski-
terben (E*t-px*x-py*y-pz*z).  A fenti P operator egyebkent erre a 
legutobbi negydimenzios esetre elojelhelyes (ha el nem neztem), de 
ez mellekkerdes.

Mi a P operator hatasa az f(x) fuggvenyre :
           P[f(x)]=p*f(x)
ezrt hivjuk P-t az impulzusoperatornak, mert a sajatertekei egy allapot
impulzusai.
> -------------------------------------------------------------------------
Mellesleg nezzuk meg az X es P operatorok kommutatorat, azaz az
          [X,P]=XP-PX
mennyiseget, milyen a hatsa ennek az allapotfuggvenyunkre. Az XP azt
jelenti, hogy elobb a P oprator hat a mogottelevo fuggvenyre, majd az
X ennek eredmenyere. Tulajdonkeppen az 
x*d/dx f(x)-(h-vonas)/i*d/dx[x*f(x)]=-(h-vonas)/i*f(x)=i*(h-vonas)*f(x)
szamitasrol van szo, azaz operatorszinten :
          [X,P]=i*(h-vonas)
Itt tulajdonkeppen levezettuk a helyre es impulzusra vonatkozo Heisenberg-
fele hatarozatlansagi relaciot.
> --------------------------------------------------------------------------
A tovabbi mennyisegek, pl. az impulzusmomentumet is, klasszikus analogiak
alapjan epitjuk fel. A klasszikus mechanikaban l = r x p , ahol r es p
vektor, x a keresztszorzat, l a (palya)impulzusmomentum. Legyen tehat
a palya(impulzus)momentum operatora :
          L = X x P, 
azaz pl. az x komponens operatora :
          Lx = Y Pz - Py X
itt most Y es Z a helyoperator y es z komponense, Py Pz is ertelemszeru.
Hasonloan kapjuk az L operator masik ket komponenset, Ly-t es Lz-t is.

NAGYON FONTOS, hogy a kvantummechanikaban egy allapotot csak olyan
mennyisegek egyuttesevel tudjuk jellemezni, amelyek operatorai felcse-
relhetok egymassal, ellenkezo esetben ugyanis nem mindegy a meres
sorrendje, az egyszerre valo meres probalkozasai eltero eredmenyekre
vezet attol fuggoen, melyiket sikerult megis elobb merni. Hatarozatlan-
sagra jutunk tehat. Fent lattuk, hogy X es P nem cserelhetok fel, ez
a hatarozatlansagi relacio. Hasonlokeppen azt talaljuk, hogy
         [Lx,Ly]=i*Lz , [Ly,Lz]=i*Lx , [Lz,Lx]=i*Ly
azaz az impulzusmomentum komponensei nem merhetok egyszerre, legfeljebb
csak az egyik, ami eleg szomoru. A klasszikus mechanikaban minden mennyiseg
merheto egyszerre akarmelyikkel.

Terjunk vissza a teljes impulzusmomnetumra. Ennek L = X x P definicioja
absztrakt, ki nem szamolhato, csak a komponensein keresztul. A negyzete
mar konnyen szamolhato :
       L^2 = Lx^2 + Ly^2 + Lz^2
Opratorok szorzata ugyanis az egymas utani alkalmazasuk. L az L^2 negy-
zetgyoke lenne, ami nehezen ertelmezheto (csak vegtelen Taylor-soron
keresztul, hogy csupa szorzatbol alljon, de az vegtelebul nehezkes :-).
Jo nekunk az L^2 is. Ha megnezzuk az o felcserelesi relacioit, akkor
azt talaljuk, hogy
       [L^2,Lx]=[L^2,Ly]=[L^2,Lz]=0
Azaz L^2-et es az egyik komponenset egyutt mar tudjuk hasznalni az allapot
leirasara. Konvencio szerint Lz-t szoktuk hasznalni. Mindketten (L^2 es Lz)
felcserelhetok szabad reszecske eseten az eneria operatoraval is (a 
Hamlton-operatorral), ami fontos, de most nem errol beszelunk.

Ha megnezzuk L^2 es Lz sajatertekeit (a levezetest mellozom), azt kapjuk
hogy L^2 sajatertekei az l*(l+1) alaku szorzat ertekeit vehetik fel, ahol
l=0,1,2,3,... (tulajdonkeppen (h-vonas)^2*l(l+1) ), ami nagyon erdekes,
mert klasszikusan azt varnank, hogy l^2-szeru ertekeket vegyenek fel a
sajatertekek, ahogy a klasszikus fizikaban. Ez egy furcsa, kvantummechanikai
joslat, de a kiserletek eredmenyeit az l(l+1) irja le helyesen.

Az atomi szinkepvonalak leirasaban megjeleon l(l+1) alaku szorzatoknak
a kiserletekkel valo egyezese (ellentetben egy klasszikus atommodellbol,
pl. a Bohr-modellbol eredo l^2-es kifejezesekkel) fenyesen igazolja a
kvantummechanikat. Mindez az operatoros, sajatfuggvenyrendszeres leirasbol
jott, s az operatorok algebraja, felcserelesi relacioi alapveto szerepet
jatszanak benne.

JOJJON A SPIN. Eddig ugyanis az L = X x P palyamomentummal foglalkoztunk,
amit tehat az X es P operatorokbol vezettunk be. Ha csak az operatoral-
gebrat nezzuk, es elfeledkezunk az X x P definiciorol, akkor kiderul,
hogy az algebra az l(l+1) ertekeire feles l-eket is megengednenek, azokat
csak az X x P definicio tiltja.

Elkepzelheto tehat, hogy van olyan reszecske, aminek feles az impulzus-
momentuma. Az osszetett reszecskek impulzusmomentuma a komponensek sajat
impulzusmomentumabol es a komponensek relativ mozgasanak palyamomentumabol
allnak ossze. Az osszetett reszecskenek az eredo lesz a sajat impulzusmo-
mentuma. Kerdes, van-e olyan reszecske a valosagban, aminek feles a spinje.

A Stern-Gerlach kiserletet (1922), ami ezustatomok magneses momentumat 
merte, majd a Phipps-Taylor kiserletet (1927), ami alapallapotu hidro-
genatomoket, nem lehetett maskent ertelmezni, minthogy az elektronnak
van spinje. A kiserletek az atomokbol letrehozott sugarak elteruleset
mertek magneses terben, azaz tulajdonkeppen a magneses momentumukat
mertek, mivel a magneses momentum az impulzusmomentummal aranyos.
Klasszikusan szolva, az elktron a proton korul kering, ez egy elemi
koraram, ami egy elemi magnesnek felel meg. 

Az utobbi kiserletnel a hidrogentaomban a proton magneses momentuma
nem szamit, mert a tomeggel forditottan aranyos a magneses momentum.
Azaz csak az elektron palyamomentuma es esetleges sajatmomentuma szamit.
Mivel alapallapotu hidrogenrol volt szo, a palaymomentum nulla volt,
azaz nem lett volna szabad magneses momentumnak mutatkoznia. A hidro-
gennyalab a magneses terben megis ketfele terult el, ez a kettes szam
eleve jelzi a feles spint, hiszen az m=+1/2,-1/2 allapotoknak felelt
meg az elterules, ahol m a sajatimpulzusmomentum operator harmadik
komponensenek sajaterteke, s az adott m ertekek s=1/2-et jeleznek.
Ha ugyanis s=1 lett volna pl. akkor haromfele terult volna el a nyalab
az m=-1,0,+1 allapotoknak megfeleloen. Altalaban is egesz spin eseten
paratlan iranyba, felegesz spin eseten paros iranyba terul el a hidro-
gennyalab.

A kiserlet tehat igazolta a kvantummechanika egy sajatos joslatat,
mellesleg az a teny pedig, hogy az elterules diszkret iranyokba tortent
pedig a kvantummechanika mukodeset igazolja, hiszen klasszikusan szem-
lelve a spint es a magneses momentumot, a nyalabnak a +s es -s kijelolte
hatarok kozott folytosan kellett volna eloszlania, de o ezt szigoruan
diszkreten tette a -s,-s+1,...,+s-1,+s iranyokba, esetunkben ez csak
ket irany volt, a -1/2,+1/2 .

A spin tehat a kvantummechanika matematikai modszerenek, az operatoros,
sajatertekes,sajatfuggvenyrendszeres leirasnak a kovetkezmenye. Igen
meglepo joslatokat ad, de ezeket a kiserlet igazolja. Azaz a mikrovilag
operatorokkal dolgozik, tudja a kvantummechanikat :-)

Hidas Pal

Hello,

 TUDOMANY #649 Titusz irta:
>Ha jol emlekszem, azt is mondta, hogy nagy valoszinuseggel Afrikaban
elt,
>de sajna azt elfelejtettem, hogy mikor. (Vegtelenul halvanyan 140ezer
ev
>remlik, de nem vallalok erte felelosseget.)

140 ezer evet jelol meg egy eleg friss cikk is az ABCNews honlapjan,
noha ekkor mar a Homo sapiens kivandorlasa tortent Afrikabol. A
kialakulas nyilvan korabban tortent nehany 10 ezer evvel, valahol
Kelet-Afrikaban. A cikkben megemlitik, hogy a kutya - mitokondrialis DNS
vizsgalatok szerint -  kb. 135 ezer evvel ezelott alakult ki a
farkasbol, s ebben oriasi szerepe volt az eppen eurazsiaba kivandorlo
ember haziasito tevekenysegenek.

http://more.abcnews.go.com/sections/science/DailyNews/dogs_man981216.html



Nagy Andras